DOI: https://doi.org/10.32515/2664-262X.2020.3(34).143-162

Зведення задачі мінімаксного керування лінійними нестаціонарними системами до – робастного шляхом динамічної гри

О.П. Лобок, Б.М. Гончаренко, Л.Г. Віхрова

Об авторах

О.П. Лобок, доцент, кандидат фізико-математичних наук, Національний університет харчових технологій, м. Київ, Україна

Б.М. Гончаренко, професор, доктор технічних наук, Національний університет харчових технологій, м. Київ, Україна

Л.Г. Віхрова, професор, кандидат технічних наук, Центральноукраїнський національний технічний університет, м. Кропивницький, Україна

Анотація

В роботі розв’язана задача синтезу мінімаксного керування для динамічних, описаних системою лінійних диференційних рівнянь (з врахуванням стану, керувань, збурень та початкових умов, з наведеним рівнянням спостереження включно)об’єктів,що функціонують у відповідності з інтегрально-квадратичним критерієм якості в умовах невизначенності. Припускалося, що зовнішні збурення, похибки та початкові умови належать певній множині невизначеностей. Задача пошуку оптимального керування у вигляді зворотного по виходу об’єктазв’язку, який мінімізує критерій функціонування, представлена у вигляді мінімаксної задачі оптимального керування за умов невизначеностей. За відсутності готових шляхів розв’язання показане зведення даної задачі до задачі -керування при найбільш несприятливих збуреннях, а крім того і до динамічної ігрової задачі з нулевою сумою та визначеною ціною гри, та наведена стратегія її розв’язання, щопропонує шлях до нових результатів. Завдання пошуку оптимального керування і початкового стану, які максимізують критерій якості, розглянуто в рамках оптимізаційної задачі, яку розв’язано методом множників Лагранжа після введення допоміжної скалярної функції – гамільтоніана. Показано, що для знаходження максимального значення критерію може бути використана або необхідна умова екстремуму першого роду, що залежить від співвідношення першої варіації критерію та перших варіацій векторів керування і початкового стану або також необхідна умова екстремуму другого роду, що залежить від знаку другої варіації. Приведені для перших та другихваріацій формули, які можуть використовуватися для розрахунків. Запропоновано задачу пошуку керування розв’язувати в два етапи: пошук проміжного розв’язку при фіксованих значеннях векторів керування та похибки і наступний пошук остаточного оптимального керування. Розглянуте також розв’язання -оптимальногокерування на нескінченому часі з врахуванням сигналу з виходу компенсатора, а також – розв’язання відповідних матричних алгебраїчних рівнянь типу Рікатті.

Ключові слова

мінімаксне керування, робастність, системи з невизначеностями, оптимізація, динамічна гра, матрична форма

Повний текст:

PDF

Посилання

1. Balandin, D.V. & Kogan, M.M. (2007). Sintez zakonov upravlenija na osnove linejnyh matrichnyh neravenstv [Synthesis of control laws based on linear matrix inequalities]. Moscow: Fizmatlit [in Russian].

2. Gantmaher, F.R. (2004). Teorija matric [Matrix theory]. Moscow: Fizmatlit [in Russian].

3. Poljak, B.T. & Hlebnikov, M.V. (2014). Upravlenie linejnymi sistemami pri vneshnih vozmushhenijah: Tehnika linejnyh matrichnyh neravenstv [Control of linear systems under external disturbances: Technique of linear matrix inequalities] . Moscow: LENAND [in Russian].

4. Jakubovich, V.A. (1962). Reshenie nekotoryh matrichnyh neravenstv, vstrechajushhihsja v teorii avtomaticheskogo regulirovanija [The solution of some matrix inequalities encountered in the theory of automatic regulation]. DAN SSSR – DAN SSSU, Vol. 143, 6, 1304-1307 [in Russian].

5. Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. & Balakrishnan, V. (1994). LinearMatrix Inequalities in System and Control. Philadelphia: SIAM [in English].

6. Chilali, M. & Gahinet, P. (1996). design with pole placement constraints: An LMI approach. IEEE Trans. Automat. Contr., Vol.41, 358-367 [in English].

7. Ghaoui, L.E. & Niculescu, S.I. (2000). Advances in linear matrix inequality methods in control. Advances in Design and Control. PA: SIAM [in English].

8. Masubuchi, I., Ohara, A. & Suda, N. (1998). LMI-based controller synthesis: A unified formulation and solution. Int. J. Robust Nonlinear Contr., Vol. 8, 669–686 [in English].

9. Lobok, O.P., Honcharenko, B.M. & Savits'ka, N.M. (2015). Minimaksne upravlinnia v linijnykh dynamichnykh systemakh iz rozpodilenymy parametramy [Minimax control in linear dynamic systems with distributed parameters]. Zhurnal «Naukovi pratsi NUKhT» – The Journal “Scientific Works of National University of Food Technologies”, Vol. 21, 6, 16-26 [in Ukrainian].

10. Kirichenko, N.F. (1982). Minimaksnoe upravlenie i ocenivanie v dinamicheskih sistemah. Avtomatika i telemehanika – Automation and Telemechanics, 1, 32-39 [in Russian].

11. Lobok, A.P. (1983). Minimaksnye reguljatory v sistemah s raspredelennymi parametrami. Vestn [Minimax controllers in distributed parameter systems]. Modelirovanie i optimizacija slozhnyh system – Modelling and optimization of complex systems, Vol.2, 62-67 [in Russian].

12. Vasil'ev, F.P. (1981). Metody reshenija jekstremal'nyh zadach [Methods for solving extreme problems]. Moskow: Nauka [in Russian].

Пристатейна бібліографія ГОСТ

  1. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2007. 281 с.
  2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004. 560 с.
  3. Поляк Б.Т., Хлебников М.В. Управление линейными системами при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств. М.: ЛЕНАНД, 2014. 560 с.
  4. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования. ДАН СССР. 1962. Т. 143. №6. С. 1304-1307.
  5. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. LinearMatrix Inequalities in System and Control Theory. Philadelphia: SIAM, 1994. 193 p.
  6. Chilali M., Gahinet P. design with pole placement constraints: An LMI approach. IEEE Trans. Automat. Contr., 1996. vol.41, pp. 358–367.
  7. Ghaoui L.E., Niculescu S.I. Advances in linear matrix inequality methods in control. Advances in Design and Control. Philadelphia, PA: SIAM, 2000. 372 p.
  8. Masubuchi I., Ohara A., Suda N. LMI-based controller synthesis: A unified formulation and solution. Int. J. Robust Nonlinear Contr., 1998, vol. 8, pp. 669–686.
  9. Лобок О.П., Гончаренко Б.М., Савіцька Н.М. Мінімаксне управління в лінійних динамічних системах із розподіленими параметрами. Журнал «Наукові праці НУХТ». 2015. Том 21, № 6. С.16-26.
  10. Кириченко Н.Ф. Минимаксное управление и оценивание в динамических системах. Автоматика и телемеханика. 1982. №1. С. 32-39
  11. Лобок А.П. Минимаксные регуляторы в системах с распределенными параметрами. Моделирование и оптимизация сложных систем: Вестн. Киев. универ.. 1983. Вып.2. С. 62-67.
  12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

Copyright (c) 2020 О.П. Лобок, Б.М. Гончаренко, Л.Г. Віхрова