DOI: https://doi.org/10.32515/2664-262X.2024.9(40).1.14-26
Стандартизація еліптичних кривих: аналіз та впровадження в криптографічні протоколи
Об авторах
О.С. Улічев, кандидат технічних наук, Центральноукраїнський національний технічний університет, Кропивницький, Україна, e-mail: askin79@gmail.com, ORCID ID: 0000-0003-3736-9613
К.О. Задорожний, студент, Центральноукраїнський національний технічний університет, Кропивницький, Україна, e-mail: kostazadoroznij9@gmail.com
Анотація
Використання еліптичних кривих у криптографії вважається одним із найбільш перспективних напрямків розвитку сучасних алгоритмів безпеки. Цей математичний підхід базується на складності вирішення задачі дискретного логарифмування у групі точок еліптичної кривої над скінченним полем. Застосування криптографії на еліптичних кривих дозволяє забезпечити безпеку обміну даними, використовуючи ефективні алгоритми шифрування та створення цифрових підписів (ЦП). У цьому дослідженні розглядається еліптичні криві для криптографічних цілей, а також наводяться основні операції у групі точок еліптичних кривих. Особлива увага приділяється алгоритмам обміну ключами Elliptic curve Diffie-Hellman (ECDH) та Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). Також аналізуються стандарти, що регламентують використання еліптичних кривих у криптографічних системах, та розглядаються переваги цієї криптографічної парадигми порівняно з основними асиметричними алгоритмами. Досліджуються потенційні загрози та вразливості криптографічних алгоритмів на основі еліптичних кривих. Також наводяться приклади популярних стандартизованих кривих, рекомендованих відповідними організаціями, такими як NIST, що використовуються в реальних криптографічних застосуваннях.
Ключові слова
криптографія на еліптичних кривих; асиметричні криптосистеми; цифровий підпис на еліптичних кривих; ECC (Elliptic Curve Cryptography, еліптична криптографія); ECDH; ECDSA; RFC
Повний текст:
PDF
Посилання
1. Dychka, A. I. (2018). Modified method of multiple scalar multiplication of elliptic curve points in finite fields: master's thesis [Modyfikovanyj metod bahatokratnoho skaliarnoho mnozhennia tochok eliptychnoi kryvoi u skinchennykh poliakh]. Master's thesis URL: https://ela.kpi.ua/bitstream/123456789/23653/1/Dychka_magistr.pdf [in Ukrainian].
2. Horbenko, Yu. & Horbenko, I. (2010). Infrastruktury vidkrytykh kliuchiv. Elektronnyj tsyfrovyj pidpys. Teoriia ta praktyka : monohrafiia [Public key infrastructures. Electronic digital signature. Theory and practice]. Kharkiv: Fort [in Ukrainian].
3. N.Koblitz. (1987) Elliptic Curve Cryptosystems // Mathematics of Computation. Vol. 48, № 177. Р. 203-209.
4. Blake, I. F., Smart, N. P., Seroussi, G.(2009) Advances in elliptic curve cryptography. Cambridge University.
5. Diffie W., Hellman M. E.. (1976) New directions in cryptography. URL: https://ee.stanford.edu/~hellman/publications/24.pdf
6. Rivest R. L., Shamir A., Adleman L..(1985) A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. URL: https:// people.csail.mit.edu/rivest/Rsapaper.pdf
7. ElGamal T.. (1985) Public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms. URL: https://caislab.kaist.ac.kr/lecture/2010/ spring/cs548/basic/B02.pdf
8. Arjen K., Lenstra H.. (1993) The development of the number field sieve. Lecture Notes in Mathematics (LNM), Vol. 1554.
9. Boneh D., Shoup V./ (2023) A Graduate Course in Applied Cryptography. URL: http://toc.cryptobook.us/book.pdf
10. Koblitz, N.. (1987) Elliptic curve cryptosystems. Mathematics of computation, Vol.48, № 177. Р. 203. URL:https://doi.org/10.1090/s0025-5718-1987-0866109-5.
11. Miller V.S. (2020) Use of elliptic curves in cryptography. Lecture notes in computer science, Р. 417–426. URL:https://doi.org/10.1007/3-540-39799-x_31.
12. ANSI X9.62. Public key cryptography for the financial services industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). American National Standards Institute, Washington. 1999
13. ANSI X9.63. Public key cryptography for the financial services industry: Key agreement and key transport using elliptic curve cryptography. American National Standards Institute, Washington. 2001.
14. IEEE P1363/D9(Draft Version 9). Standard Specifications for Public Key Cryptography, 1999
15. Digital Signature Standard (DSS). National Institute of Standards and Technology, U.S. Department of Commerce, Washington. URL:https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-5.pdf.
16. ISO/IEC 15946-4. Information technology. Security techniques. Cryptographic techniques based on elliptic curves. Part 4: Digital signatures giving message recovery, Geneva.
17. ISO/IEC 15946-5. Information technology. Security techniq
18. Saho, N.J.G., Ezin, E.C.. (2020) Comparative study on the performance of elliptic curve cryptography algorithms with cryptography through RSA algorithm. CARI. URL:https://hal.science/hal02926106/document?ref=panther-protocol-blog
19. Elliptic Curves for Security RFC 7748. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748
20. Edwards-Curve Digital Signature Algorithm (EdDSA) RFC 8032. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032
21. Informatsijni tekhnolohii. Kryptohrafichnyj zakhyst informatsii. Tsyfrovyj pidpys, scho gruntuiet'sia na eliptychnykh kryvykh. Formuvannia ta pereviriannia [Information Technology. Cryptographic protection of information. Digital signature based on elliptic curves. Formation and verification] (2003). DSTU 4145-2002 from July 1, 2003. Kyiv: State Standard of Ukraine [in Ukrainian].
22. Informatsijni tekhnolohii. Kryptohrafichnyj zakhyst informatsii. Alhorytm shyfruvannia korotkykh povidomlen', scho gruntuiet'sia na skruchenykh eliptychnykh kryvykh Edvardsa [Information Technology. Cryptographic protection of information. Short Message Encryption Algorithm Based on Twisted Edwards Elliptic Curves] (2020). DSTU 9041-2020 from November 1, 2020. Kyiv: Derzhstandart Ukrainy [in Ukrainian].
23. Zaben'ko, Yu. I. & Kovtaniuk, Yu. S. (2013). Kontseptsiia planuvannia zhyttievoho tsyklu elektronnykh dokumentiv [The concept of planning the life cycle of electronic documents]. Arkhivy Ukrainy Archives of Ukraine, 4, 5-38 [in Ukrainian].
24. Informatsijni tekhnolohii. Kryptohrafichni metody na osnovi eliptychnykh kryvykh. Chastyna 5. Heneruvannia eliptychnykh kryvykh [Information technologies. Cryptographic methods based on elliptic curves. Part 5: Generation of elliptic curves] (2023). DSTU ISO/IEC 15946-5:2023 from June 25, 2003. Kyiv: Derzhstandart Ukrainy [in Ukrainian].
25. SafeCurves: [choosing safe curves for elliptic-curve cryptography]. URL: https://safecurves.cr.yp.to/
26. Tsyhankova,O.V. (2021). Metody pidvyschennia shvydkodii asymetrychnykh kryptosystem z vykorystanniam eliptychnykh kryvykh u formi Edvardsa [Methods of increasing the speed of asymmetric cryptosystems using elliptic curves in the form of Edwards]. Candidate’s thesis. Kyiv [in Ukrainian].
27. Schur, N., Pokotylo, O. & Bajliuk, Ye. (2023). Kryptohrafiia na eliptychnykh kryvykh ta ii praktychne zastosuvannia [Elliptic curve cryptography and its practical application.]. Kiberbezpeka: osvita, nauka, tekhnika Cyber security: education, science, technology, 1(21), 48–64. URL:https://doi.org/ 10.28925/2663-4023.2023.21.4864 [in Ukrainian].
Пристатейна бібліографія ГОСТ
1. Дичка А. І. Модифікований метод багатократного скалярного множення точок еліптичної кривої у скінченних полях: магістерська дисертація. 2018 URL: https://ela.kpi.ua/bitstream/ 123456789/ 23653/1/Dychka_magistr.pdf
2. Горбенко Ю., Горбенко І. Інфраструктури відкритих ключів. Електронний цифровий підпис. Теорія та практика : монографія. Xарків : Форт, 2010. 608 с.
3. Koblitz N. Elliptic Curve Cryptosystems. Mathematics of Computation. 1987. Vol. 48, № 177. Р. 203-209.
4. Blake I. F., Smart N. P., Seroussi G. Advances in elliptic curve cryptography. Cambridge University. 2009.
5. Diffie W., Hellman M. E., New directions in cryptography. 1976. Vol. 22, No 6. P. 644-654. URL: https://ee.stanford.edu/~hellman/publications/24.pdf
6. Rivest R. L., Shamir A., Adleman L., A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems, 1985. URL: https:// people.csail.mit.edu/rivest/Rsapaper.pdf
7. ElGamal T. Public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms. 1985. URL: https://caislab.kaist.ac.kr/lecture/2010/ spring/cs548/basic/B02.pdf
8. Arjen K. Lenstra, H. W. Lenstra. The development of the number field sieve. Lecture Notes in Mathematics (LNM). 1993. Vol. 1554.
9. Dan Boneh, and Victor Shoup, A Graduate Course in Applied Cryptography, 2023. URL: http://toc.cryptobook.us/book.pdf
10. Koblitz, N. Elliptic curve cryptosystems. Mathematics of computation, 1987. Vol.48, № 177. Р. 203. URL:https://doi.org/10.1090/s0025-5718-1987-0866109-5.
11. Miller, V.S. Use of elliptic curves in cryptography. Lecture notes in computer science. 2000. Vol. 218Р. 417–426. URL:https://doi.org/10.1007/3-540-39799-x_31.
12. ANSI X9.62. Public key cryptography for the financial services industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). American National Standards Institute, Washington. 1999
13. ANSI X9.63. Public key cryptography for the financial services industry: Key agreement and key transport using elliptic curve cryptography. American National Standards Institute, Washington. 2001.
14. IEEE P1363/D9(Draft Version 9). Standard Specifications for Public Key Cryptography, 1999
15. Digital Signature Standard (DSS). National Institute of Standards and Technology, U.S. Department of Commerce, Washington. URL:https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-5.pdf.
16. ISO/IEC 15946-4. Information technology. Security techniques. Cryptographic techniques based on elliptic curves. Part 4: Digital signatures giving message recovery, Geneva.
17. ISO/IEC 15946-5. Information technology. Security techniq
18. Saho, N.J.G., Ezin, E.C. Comparative study on the performance of elliptic curve cryptography algorithms with cryptography through RSA algorithm. 2020. CARI. URL:https://hal.science/hal02926106/document?ref=panther-protocol-blog
19. Elliptic Curves for Security RFC 7748. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748 (дата звернення: 15.03.2024)
20. Edwards-Curve Digital Signature Algorithm (EdDSA) RFC 8032. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032 (дата звернення: 15.03.2024)
21. ДСТУ 4145-2002. Інформаційні технології. Криптографічний захист інформації. Цифровий підпис, що ґрунтується на еліптичних кривих. Формування та перевіряння. [Чинний від 1 липня 2003 року]. Київ, Держстандарт України.
22. ДСТУ 9041-2020. Інформаційні технології. Криптографічний захист інформації. Алгоритм шифрування коротких повідомлень, що ґрунтується на скручених еліптичних кривих Едвардса. [Чинний від 01.11.2020 року]. Київ, Держстандарт України.
23. Забенько Ю. І., Ковтанюк Ю. С. Концепція планування життєвого циклу електронних документів. Архіви України. 2013. Вип. 4. С. 5-38.
24. ДСТУ ISO/IEC 15946-5:2023 Інформаційні технології. Криптографічні методи на основі еліптичних кривих. Частина 5. Генерування еліптичних кривих (ISO/IEC 15946-5:2022, IDT). [Чинний від 25 червня 2003 року]. Київ, Держстандарт України.
25. SafeCurves: [choosing safe curves for elliptic-curve cryptography]. URL: https://safecurves.cr.yp.to/
26. Циганкова,О.В. Методи підвищення швидкодії асиметричних криптосистем з використанням еліптичних кривих у формі Едвардса: дис... канд. техн.: 28.04.2021/ Київ, 154 с.
27. Щур, Н., Покотило, О., Байлюк, Є. Криптографія на еліптичних кривих та її практичне застосування. Кібербезпека: освіта, наука, техніка. 2023. Вип. 1(21), C. 48–64. URL:https://doi.org/10.28925/2663-4023.2023.21.4864
Copyright (c) 2024 О.С. Улічев, К.О. Задорожний
Стандартизація еліптичних кривих: аналіз та впровадження в криптографічні протоколи
Об авторах
О.С. Улічев, кандидат технічних наук, Центральноукраїнський національний технічний університет, Кропивницький, Україна, e-mail: askin79@gmail.com, ORCID ID: 0000-0003-3736-9613
К.О. Задорожний, студент, Центральноукраїнський національний технічний університет, Кропивницький, Україна, e-mail: kostazadoroznij9@gmail.com
Анотація
Ключові слова
Повний текст:
PDFПосилання
1. Dychka, A. I. (2018). Modified method of multiple scalar multiplication of elliptic curve points in finite fields: master's thesis [Modyfikovanyj metod bahatokratnoho skaliarnoho mnozhennia tochok eliptychnoi kryvoi u skinchennykh poliakh]. Master's thesis URL: https://ela.kpi.ua/bitstream/123456789/23653/1/Dychka_magistr.pdf [in Ukrainian].
2. Horbenko, Yu. & Horbenko, I. (2010). Infrastruktury vidkrytykh kliuchiv. Elektronnyj tsyfrovyj pidpys. Teoriia ta praktyka : monohrafiia [Public key infrastructures. Electronic digital signature. Theory and practice]. Kharkiv: Fort [in Ukrainian].
3. N.Koblitz. (1987) Elliptic Curve Cryptosystems // Mathematics of Computation. Vol. 48, № 177. Р. 203-209.
4. Blake, I. F., Smart, N. P., Seroussi, G.(2009) Advances in elliptic curve cryptography. Cambridge University.
5. Diffie W., Hellman M. E.. (1976) New directions in cryptography. URL: https://ee.stanford.edu/~hellman/publications/24.pdf
6. Rivest R. L., Shamir A., Adleman L..(1985) A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. URL: https:// people.csail.mit.edu/rivest/Rsapaper.pdf
7. ElGamal T.. (1985) Public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms. URL: https://caislab.kaist.ac.kr/lecture/2010/ spring/cs548/basic/B02.pdf
8. Arjen K., Lenstra H.. (1993) The development of the number field sieve. Lecture Notes in Mathematics (LNM), Vol. 1554.
9. Boneh D., Shoup V./ (2023) A Graduate Course in Applied Cryptography. URL: http://toc.cryptobook.us/book.pdf
10. Koblitz, N.. (1987) Elliptic curve cryptosystems. Mathematics of computation, Vol.48, № 177. Р. 203. URL:https://doi.org/10.1090/s0025-5718-1987-0866109-5.
11. Miller V.S. (2020) Use of elliptic curves in cryptography. Lecture notes in computer science, Р. 417–426. URL:https://doi.org/10.1007/3-540-39799-x_31.
12. ANSI X9.62. Public key cryptography for the financial services industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). American National Standards Institute, Washington. 1999
13. ANSI X9.63. Public key cryptography for the financial services industry: Key agreement and key transport using elliptic curve cryptography. American National Standards Institute, Washington. 2001.
14. IEEE P1363/D9(Draft Version 9). Standard Specifications for Public Key Cryptography, 1999
15. Digital Signature Standard (DSS). National Institute of Standards and Technology, U.S. Department of Commerce, Washington. URL:https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-5.pdf.
16. ISO/IEC 15946-4. Information technology. Security techniques. Cryptographic techniques based on elliptic curves. Part 4: Digital signatures giving message recovery, Geneva.
17. ISO/IEC 15946-5. Information technology. Security techniq
18. Saho, N.J.G., Ezin, E.C.. (2020) Comparative study on the performance of elliptic curve cryptography algorithms with cryptography through RSA algorithm. CARI. URL:https://hal.science/hal02926106/document?ref=panther-protocol-blog
19. Elliptic Curves for Security RFC 7748. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748
20. Edwards-Curve Digital Signature Algorithm (EdDSA) RFC 8032. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032
21. Informatsijni tekhnolohii. Kryptohrafichnyj zakhyst informatsii. Tsyfrovyj pidpys, scho gruntuiet'sia na eliptychnykh kryvykh. Formuvannia ta pereviriannia [Information Technology. Cryptographic protection of information. Digital signature based on elliptic curves. Formation and verification] (2003). DSTU 4145-2002 from July 1, 2003. Kyiv: State Standard of Ukraine [in Ukrainian].
22. Informatsijni tekhnolohii. Kryptohrafichnyj zakhyst informatsii. Alhorytm shyfruvannia korotkykh povidomlen', scho gruntuiet'sia na skruchenykh eliptychnykh kryvykh Edvardsa [Information Technology. Cryptographic protection of information. Short Message Encryption Algorithm Based on Twisted Edwards Elliptic Curves] (2020). DSTU 9041-2020 from November 1, 2020. Kyiv: Derzhstandart Ukrainy [in Ukrainian].
23. Zaben'ko, Yu. I. & Kovtaniuk, Yu. S. (2013). Kontseptsiia planuvannia zhyttievoho tsyklu elektronnykh dokumentiv [The concept of planning the life cycle of electronic documents]. Arkhivy Ukrainy Archives of Ukraine, 4, 5-38 [in Ukrainian].
24. Informatsijni tekhnolohii. Kryptohrafichni metody na osnovi eliptychnykh kryvykh. Chastyna 5. Heneruvannia eliptychnykh kryvykh [Information technologies. Cryptographic methods based on elliptic curves. Part 5: Generation of elliptic curves] (2023). DSTU ISO/IEC 15946-5:2023 from June 25, 2003. Kyiv: Derzhstandart Ukrainy [in Ukrainian].
25. SafeCurves: [choosing safe curves for elliptic-curve cryptography]. URL: https://safecurves.cr.yp.to/
26. Tsyhankova,O.V. (2021). Metody pidvyschennia shvydkodii asymetrychnykh kryptosystem z vykorystanniam eliptychnykh kryvykh u formi Edvardsa [Methods of increasing the speed of asymmetric cryptosystems using elliptic curves in the form of Edwards]. Candidate’s thesis. Kyiv [in Ukrainian].
27. Schur, N., Pokotylo, O. & Bajliuk, Ye. (2023). Kryptohrafiia na eliptychnykh kryvykh ta ii praktychne zastosuvannia [Elliptic curve cryptography and its practical application.]. Kiberbezpeka: osvita, nauka, tekhnika Cyber security: education, science, technology, 1(21), 48–64. URL:https://doi.org/ 10.28925/2663-4023.2023.21.4864 [in Ukrainian].
Пристатейна бібліографія ГОСТ
1. Дичка А. І. Модифікований метод багатократного скалярного множення точок еліптичної кривої у скінченних полях: магістерська дисертація. 2018 URL: https://ela.kpi.ua/bitstream/ 123456789/ 23653/1/Dychka_magistr.pdf
2. Горбенко Ю., Горбенко І. Інфраструктури відкритих ключів. Електронний цифровий підпис. Теорія та практика : монографія. Xарків : Форт, 2010. 608 с.
3. Koblitz N. Elliptic Curve Cryptosystems. Mathematics of Computation. 1987. Vol. 48, № 177. Р. 203-209.
4. Blake I. F., Smart N. P., Seroussi G. Advances in elliptic curve cryptography. Cambridge University. 2009.
5. Diffie W., Hellman M. E., New directions in cryptography. 1976. Vol. 22, No 6. P. 644-654. URL: https://ee.stanford.edu/~hellman/publications/24.pdf
6. Rivest R. L., Shamir A., Adleman L., A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems, 1985. URL: https:// people.csail.mit.edu/rivest/Rsapaper.pdf
7. ElGamal T. Public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms. 1985. URL: https://caislab.kaist.ac.kr/lecture/2010/ spring/cs548/basic/B02.pdf
8. Arjen K. Lenstra, H. W. Lenstra. The development of the number field sieve. Lecture Notes in Mathematics (LNM). 1993. Vol. 1554.
9. Dan Boneh, and Victor Shoup, A Graduate Course in Applied Cryptography, 2023. URL: http://toc.cryptobook.us/book.pdf
10. Koblitz, N. Elliptic curve cryptosystems. Mathematics of computation, 1987. Vol.48, № 177. Р. 203. URL:https://doi.org/10.1090/s0025-5718-1987-0866109-5.
11. Miller, V.S. Use of elliptic curves in cryptography. Lecture notes in computer science. 2000. Vol. 218Р. 417–426. URL:https://doi.org/10.1007/3-540-39799-x_31.
12. ANSI X9.62. Public key cryptography for the financial services industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA). American National Standards Institute, Washington. 1999
13. ANSI X9.63. Public key cryptography for the financial services industry: Key agreement and key transport using elliptic curve cryptography. American National Standards Institute, Washington. 2001.
14. IEEE P1363/D9(Draft Version 9). Standard Specifications for Public Key Cryptography, 1999
15. Digital Signature Standard (DSS). National Institute of Standards and Technology, U.S. Department of Commerce, Washington. URL:https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-5.pdf.
16. ISO/IEC 15946-4. Information technology. Security techniques. Cryptographic techniques based on elliptic curves. Part 4: Digital signatures giving message recovery, Geneva.
17. ISO/IEC 15946-5. Information technology. Security techniq
18. Saho, N.J.G., Ezin, E.C. Comparative study on the performance of elliptic curve cryptography algorithms with cryptography through RSA algorithm. 2020. CARI. URL:https://hal.science/hal02926106/document?ref=panther-protocol-blog
19. Elliptic Curves for Security RFC 7748. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748 (дата звернення: 15.03.2024)
20. Edwards-Curve Digital Signature Algorithm (EdDSA) RFC 8032. URL: https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032 (дата звернення: 15.03.2024)
21. ДСТУ 4145-2002. Інформаційні технології. Криптографічний захист інформації. Цифровий підпис, що ґрунтується на еліптичних кривих. Формування та перевіряння. [Чинний від 1 липня 2003 року]. Київ, Держстандарт України.
22. ДСТУ 9041-2020. Інформаційні технології. Криптографічний захист інформації. Алгоритм шифрування коротких повідомлень, що ґрунтується на скручених еліптичних кривих Едвардса. [Чинний від 01.11.2020 року]. Київ, Держстандарт України.
23. Забенько Ю. І., Ковтанюк Ю. С. Концепція планування життєвого циклу електронних документів. Архіви України. 2013. Вип. 4. С. 5-38.
24. ДСТУ ISO/IEC 15946-5:2023 Інформаційні технології. Криптографічні методи на основі еліптичних кривих. Частина 5. Генерування еліптичних кривих (ISO/IEC 15946-5:2022, IDT). [Чинний від 25 червня 2003 року]. Київ, Держстандарт України.
25. SafeCurves: [choosing safe curves for elliptic-curve cryptography]. URL: https://safecurves.cr.yp.to/
26. Циганкова,О.В. Методи підвищення швидкодії асиметричних криптосистем з використанням еліптичних кривих у формі Едвардса: дис... канд. техн.: 28.04.2021/ Київ, 154 с.
27. Щур, Н., Покотило, О., Байлюк, Є. Криптографія на еліптичних кривих та її практичне застосування. Кібербезпека: освіта, наука, техніка. 2023. Вип. 1(21), C. 48–64. URL:https://doi.org/10.28925/2663-4023.2023.21.4864
Copyright (c) 2024 О.С. Улічев, К.О. Задорожний