DOI: https://doi.org/10.32515/2409-9392.2018.31.119-128
Calculation of the Fractal Dimension of a Numerical Sequence From the Probability Distribution of the Values of Its Elements
About the Authors
Ganna Dreyeva, lecturer, Central Ukranian National Technical University, Kropyvnytskyi, Ukraine, E-mail: gannadreeva@gmail.com
Olexandr Dreyev, PhD in Technics (Candidate of Technics Sciences), Central Ukranian National Technical University, Kropyvnytskyi, Ukraine, E-mail: drey.sanya@gmail.com
O.O.Denisenko, Software engineer in Epam Systems, city Kiev, Ukraine, Ukraine, E-mail: alexey.denisenko.work@gmail.com
Abstract
In today's works to optimize work of telecommunication systems and networks, it is mandatory to take into account the fractal nature of traffic on the Internet. Inclusion of fractality makes it much better to predict the system parameters to the actual values, so the definition of fractal dimension is an actual and important task. Known criteria for determining the fractal dimension have significant errors and variations for individual implementations, so it is advisable to obtain new methods for evaluating the fractal characteristics of the investigated signals, which is followed in a number of publications, in which methods are presented using wavelet analysis.
The problem of analytical expression of the fractal dimension of a numerical sequence based on its distribution density of a random variable was solved. Based on the constructed approach, we consider a specific case of a random binary sequence in which the dependence of the fractal dimension on the width of the partition of the sequence on the rectangles is shown. Based on the presence of such dependence, a requirement is made to perform partitioning in the ranges used to solve specific problems. The results can be used to improve the simulation of fractal random sequences; mass service systems; simulation of traffic of telecommunication networks.
The result of the practical verification of the mathematical expectation of fractal dimension with different partitions testifies to the dependence of the fractal dimension on the scaling of the partition. This means that from the selected scale of the partition into rectangles, it is possible to get an arbitrary value of the dimension from 1 to 2, which is quite significant when considering the limiting cases. In particular, with a fairly wide division, when a rectangle contains a large number of elements of a numerical sequence, the height of the rectangle covers almost the entire permitted range of the realization of random values; A sequence of almost equal to the height of rectangles is formed, which is an analogue of a two-dimensional strip, which almost does not change its width with increasing partition. According to the logical construction, the strip is a two-dimensional object, and the exit from the band in practice is forbidden by physical real processes in which no unlimited signal growth is allowed.
Keywords
fractal dimension, numerical sequence, probability distribution, random, ergodic, process
Full Text:
PDF
References
Dubovikov, M.M., Krjanev, A.V. & Starchenko, N.V. (2004). Razmernost' minimal'nogo pokrytija i lokal'nyj analiz fraktal'nyh vremennyh rjadov [Dimension of the Minimal Cover and Local Analysis of Fractal Time Series]. Vestnik RUDN, Serija Prikladnaja i komp'juternaja matematika – RUDN Journal Applied and Computer Mathematics, Vol. 3, 1, 30-44.
Zmeškal, Oldřich & Nežádal, Martin, Komendová, Barbora, Julínek, Martin & Bžatek Tomáš (2003). FRACTAL ANALYSIS OF PRINTED STRUCTURE IMAGES. Institute of Physical and Applied Chemistry, of the methods used to perform analysis listed above; Brno University of Technology. Brno, Czech Republic.
Mandel'brot, B. (2002). Fraktal'naja geometrija prirody [Fractal geometry of nature]. Moskva: Institut komp'juternyh issledovanij.
Kuchuk, H.A., Mozhaiev, O.O. & Vorobjov, O.V. (2006). Analiz ta modeli samopodibnoho trafika [Analysis and models of self-similar traffic]. Avyatsyonno-kosmycheskaia tekhnyka y tekhnolohyia – Aerospace Engineering and Technology, 9 (35), 173-180.
Leland, W., Taqqu, М. & Willinger, W. (1997). On the self-similar nature of IP-trafic. IEEE/ACM Transactions on Networking, 3, 423-431.
Kuchuk, H.A. (2005). Metod doslidzhennia fraktal'noho merezhnoho trafika [The method of researching fractal network traffic]. Systemy obrobky informatsii – Information Processing Systems. Kharkov: KhU PS, Vol. 5 (45), 74-84.
Kazimirova, V.V., Mozhaiev, M.O. & Kuz'menko, V.Ye. (2014). Osoblyvosti modeliuvannia peredachi informatsii u komp'iuternij merezhi systemy avtomatychnoi identyfikatsii suden [Traffic modeling in computer network of vessel identification automatic system]. Systemy obrobky informatsii – Information Processing Systems, Vol. 7 (123), 83-88.
Malinnikov, V.A. & Uchaev, D.V. (2007). Analiz metodov formirovanija mul'tifraktal'noj mery, osnovannyh na vejvlet-obrabotke jeksperimental'nyh dannyh [Analysis of methods for forming a multifractal measure based on wavelet processing of experimental data]. Izvestija vuzov. Serija geodezija i ajerofotos#emka – Scientific journal Izvestia vuzov «Geodesy and aerophotography», 6, 57–61.
Nych, L.Ya. & Kamins'kyj, R.M. (2015). Vyznachennia pokaznyka hersta za dopomoho fraktal'noi rozmirnosti, obchyslenoi klitynkovym metodom na prykladi korotkykh chasovykh [Hurst exponent evaluated via calculated by box-counting method on short time series example fractal dimension]. Visnyk Natsional'noho universytetu L'vivs'ka politekhnika. Informatsijni systemy ta merezhi – Proceedings Information systems and networks of Lviv Polytechnic National University, Vol. 814, 100-111.
Romanenko, I.O., Zhyvotovs'kyj, R.M., Petruk, S.M., Shyshats'kyj, A.V. & O.O. Voloshyn (2017). Matematychna model' rozpodilu navantazhennia v telekomunikatsijnykh merezhakh spetsial'noho pryznachennia [Mathematical model of load distribution in telecommunication networks of special purpose]. Systemy obrobky informatsii – Information Processing Systems, 3(149), 61-71.
Voropaieva, V.Ya., Bessarab, V.I., Turupalov, V.V. & Chervyns'kyj, V.V. (2011). Teoriia teletrafiku [The theory of teletraffic]. Donets'k: DVNZ «DonNTU».
Ryzhikov, Ju.P. (2013). Algoritmicheskij podhod k zadacham massovogo obsluzhivanija [Algorithmic approach to the tasks of mass service]. SPb.: VKA im. A.F. Mozhajskogo.
Zadorozhnyj, V.N. (2011). Analntiko-imitacionnye issledovanija Bol'shih Setevyh struktur: monografija [Analytical simulation studies of large network structures]. Omsk: Izd-vo OmGTU.
Borisov, V.D. & Sadovoj, G.S. (2000). Metod fraktal'nogo analiza vremennyh rjadov [Fractal time series analysis method]. Avtometrija – Autometry, 6, 10–19.
GOST Style Citations
- Дубовиков М.М. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов [Текст] / М.М. Дубовиков, А.В. Крянев, Н.В. Старченко // Вестник РУДН, Серия Прикладная и компьютерная математика. – 2004. – Т. 3. – № 1. – С. 30–44.
- Zmeškal Oldřich, Nežádal Martin, Komendová Barbora, Julínek Martin, Bžatek Tomáš FRACTAL ANALYSIS OF PRINTED STRUCTURE IMAGES // Institute of Physical and Applied Chemistry, of the methods used to perform analysis listed above. Brno University of Technology, Brno, Czech Republic.
- Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы [Текст] / Б. Мандельброт // Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.
- Кучук Г.А. Аналіз та моделі самоподібного трафіка [Текст] / Г.А. Кучук, О.О. Можаєв, О.В. Воробйов // Авиационно-космическая техника и технология. – 2006. – № 9 (35). – С. 173-180
- Leland W. On the self-similar nature of IP-trafic [Теxt] / W. Leland, М. Taqqu, W. Willinger // IEEE/ACM Transactions on Networking. – 1997. – № 3. – P. 423-431.
- Кучук Г.А. Метод дослідження фрактального мережного трафіка [Текст] / ГА Кучук // Системи обробки інформації. – Х.: ХУ ПС, 2005. – Вип. 5 (45). – С. 74-84.
- Казімірова В.В. Особливості моделювання передачі інформації у комп’ютерній мережі системи автоматичної ідентифікації суден [Текст] / В.В. Казімірова, М.О. Можаєв, В.Є. Кузьменко // Системи обробки інформації. – 2014. – випуск 7 (123). – С. 83-88
- Малинников В. А. Анализ методов формирования мультифрактальной меры, основанных на вейвлет-обработке экспериментальных данных [Текст] / В. А. Малинников, Д. В. Учаев // Известия вузов. Серия геодезия и аэрофотосъемка. – 2007. – № 6. – С. 57–61.
- Нич Л.Я. Визначення показника герста за допомого фрактальної розмірності, обчисленої клітинковим методом на прикладі коротких часових рядів [Текст] / Л.Я. Нич, Р.М. Каменський // Вісник Національного університету Львівська політехніка. Інформаційні системи та мережі. – 2015. – Вип. 814. – С. 100-111
- Романенко І.О. Математична модель розподілу навантаження в телекомунікаційних мережах спеціального призначення [Текст] / І.О. Романенко, Р.М. Животовський, С.М. Петрук, А.В. Шишацький, О.О. Волошин // Системи обробки інформації. – 2017. – № 3(149). – С. 61-71.
- Воропаєва В.Я. Теорія телетрафіку [Текст] / В.Я. Воропаєва, В.І. Бессараб, В.В. Турупалов, В.В. Червинський. – Донецьк: ДВНЗ «ДонНТУ», 2011. – 202 с.
- Рыжиков Ю.П. Алгоритмический подход к задачам массового обслуживания [Текст] : монография / Ю.П. Рыжиков. – СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2013. – 496 с
- Задорожный В.Н. Аналнтико-имитационные исследования Больших Сетевых структур [Текст] : монография / В.Н. Задорожный. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. – 208 с.
- Борисов В. Д. Метод фрактального анализа временных рядов [Текст] / Борисов В.Д., Садовой Г.С. // Автометрия. – 2000. – № 6. – С. 10–19.
Copyright (c) 2018 Ganna Dreyeva, Olexandr Dreyev, O.O.Denisenko
Calculation of the Fractal Dimension of a Numerical Sequence From the Probability Distribution of the Values of Its Elements
About the Authors
Ganna Dreyeva, lecturer, Central Ukranian National Technical University, Kropyvnytskyi, Ukraine, E-mail: gannadreeva@gmail.com
Olexandr Dreyev, PhD in Technics (Candidate of Technics Sciences), Central Ukranian National Technical University, Kropyvnytskyi, Ukraine, E-mail: drey.sanya@gmail.com
O.O.Denisenko, Software engineer in Epam Systems, city Kiev, Ukraine, Ukraine, E-mail: alexey.denisenko.work@gmail.com
Abstract
Keywords
Full Text:
PDFReferences
Dubovikov, M.M., Krjanev, A.V. & Starchenko, N.V. (2004). Razmernost' minimal'nogo pokrytija i lokal'nyj analiz fraktal'nyh vremennyh rjadov [Dimension of the Minimal Cover and Local Analysis of Fractal Time Series]. Vestnik RUDN, Serija Prikladnaja i komp'juternaja matematika – RUDN Journal Applied and Computer Mathematics, Vol. 3, 1, 30-44.
Zmeškal, Oldřich & Nežádal, Martin, Komendová, Barbora, Julínek, Martin & Bžatek Tomáš (2003). FRACTAL ANALYSIS OF PRINTED STRUCTURE IMAGES. Institute of Physical and Applied Chemistry, of the methods used to perform analysis listed above; Brno University of Technology. Brno, Czech Republic.
Mandel'brot, B. (2002). Fraktal'naja geometrija prirody [Fractal geometry of nature]. Moskva: Institut komp'juternyh issledovanij.
Kuchuk, H.A., Mozhaiev, O.O. & Vorobjov, O.V. (2006). Analiz ta modeli samopodibnoho trafika [Analysis and models of self-similar traffic]. Avyatsyonno-kosmycheskaia tekhnyka y tekhnolohyia – Aerospace Engineering and Technology, 9 (35), 173-180.
Leland, W., Taqqu, М. & Willinger, W. (1997). On the self-similar nature of IP-trafic. IEEE/ACM Transactions on Networking, 3, 423-431.
Kuchuk, H.A. (2005). Metod doslidzhennia fraktal'noho merezhnoho trafika [The method of researching fractal network traffic]. Systemy obrobky informatsii – Information Processing Systems. Kharkov: KhU PS, Vol. 5 (45), 74-84.
Kazimirova, V.V., Mozhaiev, M.O. & Kuz'menko, V.Ye. (2014). Osoblyvosti modeliuvannia peredachi informatsii u komp'iuternij merezhi systemy avtomatychnoi identyfikatsii suden [Traffic modeling in computer network of vessel identification automatic system]. Systemy obrobky informatsii – Information Processing Systems, Vol. 7 (123), 83-88.
Malinnikov, V.A. & Uchaev, D.V. (2007). Analiz metodov formirovanija mul'tifraktal'noj mery, osnovannyh na vejvlet-obrabotke jeksperimental'nyh dannyh [Analysis of methods for forming a multifractal measure based on wavelet processing of experimental data]. Izvestija vuzov. Serija geodezija i ajerofotos#emka – Scientific journal Izvestia vuzov «Geodesy and aerophotography», 6, 57–61.
Nych, L.Ya. & Kamins'kyj, R.M. (2015). Vyznachennia pokaznyka hersta za dopomoho fraktal'noi rozmirnosti, obchyslenoi klitynkovym metodom na prykladi korotkykh chasovykh [Hurst exponent evaluated via calculated by box-counting method on short time series example fractal dimension]. Visnyk Natsional'noho universytetu L'vivs'ka politekhnika. Informatsijni systemy ta merezhi – Proceedings Information systems and networks of Lviv Polytechnic National University, Vol. 814, 100-111.
Romanenko, I.O., Zhyvotovs'kyj, R.M., Petruk, S.M., Shyshats'kyj, A.V. & O.O. Voloshyn (2017). Matematychna model' rozpodilu navantazhennia v telekomunikatsijnykh merezhakh spetsial'noho pryznachennia [Mathematical model of load distribution in telecommunication networks of special purpose]. Systemy obrobky informatsii – Information Processing Systems, 3(149), 61-71.
Voropaieva, V.Ya., Bessarab, V.I., Turupalov, V.V. & Chervyns'kyj, V.V. (2011). Teoriia teletrafiku [The theory of teletraffic]. Donets'k: DVNZ «DonNTU».
Ryzhikov, Ju.P. (2013). Algoritmicheskij podhod k zadacham massovogo obsluzhivanija [Algorithmic approach to the tasks of mass service]. SPb.: VKA im. A.F. Mozhajskogo.
Zadorozhnyj, V.N. (2011). Analntiko-imitacionnye issledovanija Bol'shih Setevyh struktur: monografija [Analytical simulation studies of large network structures]. Omsk: Izd-vo OmGTU.
Borisov, V.D. & Sadovoj, G.S. (2000). Metod fraktal'nogo analiza vremennyh rjadov [Fractal time series analysis method]. Avtometrija – Autometry, 6, 10–19.
GOST Style Citations
- Дубовиков М.М. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов [Текст] / М.М. Дубовиков, А.В. Крянев, Н.В. Старченко // Вестник РУДН, Серия Прикладная и компьютерная математика. – 2004. – Т. 3. – № 1. – С. 30–44.
- Zmeškal Oldřich, Nežádal Martin, Komendová Barbora, Julínek Martin, Bžatek Tomáš FRACTAL ANALYSIS OF PRINTED STRUCTURE IMAGES // Institute of Physical and Applied Chemistry, of the methods used to perform analysis listed above. Brno University of Technology, Brno, Czech Republic.
- Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы [Текст] / Б. Мандельброт // Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 656 стр.
- Кучук Г.А. Аналіз та моделі самоподібного трафіка [Текст] / Г.А. Кучук, О.О. Можаєв, О.В. Воробйов // Авиационно-космическая техника и технология. – 2006. – № 9 (35). – С. 173-180
- Leland W. On the self-similar nature of IP-trafic [Теxt] / W. Leland, М. Taqqu, W. Willinger // IEEE/ACM Transactions on Networking. – 1997. – № 3. – P. 423-431.
- Кучук Г.А. Метод дослідження фрактального мережного трафіка [Текст] / ГА Кучук // Системи обробки інформації. – Х.: ХУ ПС, 2005. – Вип. 5 (45). – С. 74-84.
- Казімірова В.В. Особливості моделювання передачі інформації у комп’ютерній мережі системи автоматичної ідентифікації суден [Текст] / В.В. Казімірова, М.О. Можаєв, В.Є. Кузьменко // Системи обробки інформації. – 2014. – випуск 7 (123). – С. 83-88
- Малинников В. А. Анализ методов формирования мультифрактальной меры, основанных на вейвлет-обработке экспериментальных данных [Текст] / В. А. Малинников, Д. В. Учаев // Известия вузов. Серия геодезия и аэрофотосъемка. – 2007. – № 6. – С. 57–61.
- Нич Л.Я. Визначення показника герста за допомого фрактальної розмірності, обчисленої клітинковим методом на прикладі коротких часових рядів [Текст] / Л.Я. Нич, Р.М. Каменський // Вісник Національного університету Львівська політехніка. Інформаційні системи та мережі. – 2015. – Вип. 814. – С. 100-111
- Романенко І.О. Математична модель розподілу навантаження в телекомунікаційних мережах спеціального призначення [Текст] / І.О. Романенко, Р.М. Животовський, С.М. Петрук, А.В. Шишацький, О.О. Волошин // Системи обробки інформації. – 2017. – № 3(149). – С. 61-71.
- Воропаєва В.Я. Теорія телетрафіку [Текст] / В.Я. Воропаєва, В.І. Бессараб, В.В. Турупалов, В.В. Червинський. – Донецьк: ДВНЗ «ДонНТУ», 2011. – 202 с.
- Рыжиков Ю.П. Алгоритмический подход к задачам массового обслуживания [Текст] : монография / Ю.П. Рыжиков. – СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2013. – 496 с
- Задорожный В.Н. Аналнтико-имитационные исследования Больших Сетевых структур [Текст] : монография / В.Н. Задорожный. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2011. – 208 с.
- Борисов В. Д. Метод фрактального анализа временных рядов [Текст] / Борисов В.Д., Садовой Г.С. // Автометрия. – 2000. – № 6. – С. 10–19.